EBS 위대한 수업3 (모두를 위한 수학) 1강 직관적으로 문제 이해하기

(2023.10.25 방송)

 

 

EBS 위대한 수업3 (모두를 위한 수학) 1강 직관적으로 문제 이해하기

위대한 여든아홉 번째 강연 ' 모두를 위한 수학 '(시즌3 여덟 번째)

 

 

 

 

테렌스 타오 UCLA 수학과 교수

미국 대통령 과학기술 자문위원

IQ 230

최연소> 10살 국제 수학 올림피아드 동메달 수상

최연소> 11살 국제 수학 올림피아드 은메달 수상

최연소> 12살 국제 수학 올림피아드 금메달 최연소 수상

필즈상 (2006)

라마누잔상 (2006)

리만상 (2019)

 

 

 

 

 

 

1강 직관적으로 문제 이해하기

 

 

 

 

기술적 진보는 첨단 공학, 과학, 기획력과 사업적 리더십 덕분이지만

현대 수학의 힘도 아주 크다

수학이라는 숨은 조력자 덕분에

과학자와 공학자들은 무엇이 가능한지 알 수 있었다

하지만 수학을 무서워하는 사람도 많다

 

학생들에게 수학은 보통 점점 어려워지는 계산일 뿐이고

웬만해선 답을 맞히기 어렵다

그래서 다들 수학은 어렵고 자기랑 안 맞는다며 포기한다

 

수학 공포증이 생겨서 이야기를 꺼리기도 한다

수학은 선택받은 소수만의 비밀 무기도 아니고

단순한 숫자와 기호의 장난도 아니다

 

수학은 온갖 이상한 기호와 용어로 쓰여있다

현실과 동떨어져 보인다

전문 분야가 원래 그렇지만 

수학도 참신하고 의미 있는 첨단 이론을 연구하려면

오랜 공부와 경험이 필요하다

 

하지만 아이들도 숫자나 도형 같은 기본적 수학 개념은 이해한다

수학 수업을 듣지 않았더라도 이런 개념은 직관적으로 다룬다

 

예를 들어 운동장에서 노는 어린아이들도

누가 더 큰 수를 아는지 겨루곤 한다

한쪽이 '천'을 대면 다른 아이는 '백만'을 대고

'십억', '억천만' 하는 식이다

그러다 한 아이가 문득 깨닫는다

상대가 무슨 수를 대든 거기에 1만 더하면 된다

 

'가장 큰 수'는 없다는 사실을 깨달은 것이다

어떤 수든 더 큰 수가 있다

아이는 저도 모르게 수학 정리를 증명한 것이다

본능적으로 수학적 추론을 해낸 것이다

 

자연수나 분수의 덧셈, 곱셈, 나눗셈이나

복잡한 대수학 기호와 공식들을 배운다

그때부턴 정확한 방법으로 정확한 답을 찾는 게 중요해진다

이제 직관을 이용해 제멋대로 문제를 풀어선 안 된다

 

직관은 불확실하고 종종 틀린 답을 내놓는다

 

그 결과, 정식 수학 교육은 직관적인 수학과 단절된다

수학을 배울수록 오히려 수학의 핵심을 이해하지 못하고

기호의 진짜 의미도 모르면서 기계적으로 계산하는 법만 배운다

 

가령 작은 물건과 큰 물건의 부피를 구하라고 했을 때

작은 물건의 부피가 더 크다고 답하는 일이 생긴다

 

많은 학생이 이쯤에서 수학을 포기한다

하지만 포기하지 않고 학사나 석박사 수준까지 가면

 

이 단계에선 정식 수학 교육과 직관이 다시 이어진다

그건 큰 무기이다

직관이 맞았는지, 틀렸는지를 계산 기술로 검증할 수 있어서

직관이 훨씬 정확해진다

 

계산 기술도 직관의 도움을 받는다

계산을 시작하기도 전에 계산이 맞는지, 

어떤 답이 나올지 대충 알 수 있다

그러면 기술적 수학과 직관적 수학을 자유롭게 오갈 수 있다

 

한때 운동장에서 '가장 큰 수'는 없다고 얘기했던 게

일종의 증명이었단 걸 깨닫게 된다

'귀류법'이라고 하는 증명법이다

귀류법은 어떤 주장의 오류를 증명하기 위해

그 주장이 사실이라 쳤을 때

'가장 큰 수보다 큰 수'같은 이상한 결론이 나온다는 걸 보여주는 것이다

 

직관이 좀 맞지 않는 상황도 교육을 통해 이해할 수 있다

일반적인 수 체계엔 '가장 큰 수' 따위는 없지만

고등 수학에서는 '가장 큰 수'가 존재하는 수 체계가 있다

 

예를 들어 '확장 실수 체계'라는 게 있는데

확장 실수 체계에는 '가장 큰 수'가 있다

이 경우에는 운동장에서 했던 이야기가 안 통한다

확장 실수 체계에선 무한대에 1을 더해도 더 큰 수가 나오지 않는다

 

수학자들은 직관과 규칙을 융합해

복잡한 개념도 좀 더 쉽게 처리할 수 있다

 

'신호 처리'라는 응용 수학 분야가 있다

이미지, 영상, 음성 파일 등을 이리저리 조작하는 분야다

압축해서 용량을 줄이거나 노이즈를 제거하고

아미지를 지우고 사진 속 얼굴을 인식하거나 

음성 파일의 대화를 인식하는 기술이다

 

숫자 하나로 표현하기에 이미지는 너무 복잡하다

신호 처리 기술은 수학을 이용해 이미지나 음성 파일을

'벡터'라는 긴 수열로 표현한다

수학적으로 말해 사진 한 장은 300만 개의 수로 이뤄진 벡터이다

 

한편 수학 시간에 배우는 '직교 좌표계'는

기하학과 숫자의 관계를 나타낸 것이다

예를 들어 2차원 평면 위에 위치를 표시한다면

보통 x와 y라는 두 가지 수치로 표현한다

하지만 3차원 공간에선 x, y, z 세 가지 수치가 필요하다

즉 평면상 위치는 두 수의 벡터이고

공간 속 위치는 세 숫자의 벡터이다

 

수학적으로 봤을 때 메가픽셀 이미지 한 장은

300만 개의 수치를 가진 300만 차원 속의 한 점이다

물론 300만 차원을 실제로 표현할 순 없다

 

이미지 하나가 300만 차원 속 한 점이라는 개념은 어떻게 이해해야 할까?

이미 잘 아는 2차원과 3차원을 통해

신비한 300만 차원 공간도 직관적으로 이해해 보자는 것이다

 

공간에는 이런 속성이 있다

점 두 개를 찍으면, 그 두 점을 잇는 직선이 반드시 존재한다

유클리드의 첫 번째 공준이다

 

이 공준은 2차원에서도, 3차원에서도 사실이다

그리고 이 공준은 300만 차원에서도 사실이다

몇 차원이든 두 개의 점에는 둘을 잇는 직선이 있다

 

서로 다른 두 개의 이미지가 있을 경우

이미지 하나를 다른 이미지로 직선적으로 변형할 수 있다

직선적인 방법 말고 더 복잡한 방법도 있다

곡선적으로 이을 수도 있고 

계산하기 편하고 보기 좋은 매끄러운 길을 찾을 수도 있다

이를 이용한 신호 처리 기술이 바로 모핑이다

모핑은 유용한 특수 효과 기법이고 영화에서도 많이 쓰인다

 

일반적으로 학교에서 수학의 기술이나 수식만 가르친다

물론 학교에서 가르치는 수학도 정말 중요하다

하지만 학교에서는 규칙적 사고만 강조한다

성적에 대한 집착을 떠나 수학을 갖고 놀 줄 알아야 한다

수학에 관심을 보이는 학생들에겐

학교 바깥에서 다양한 경험을 시켜 줘야 한다

 

야구를 좋아해서 야구 통계를 보다가

수학에 재미를 붙인 사람도 있었다

아이가 어떤 취미를 갖고 있든

그걸 통해 수학에 빠질 수도 있다

 

훌륭한 교사라면 교과서만 가르치는 것을 넘어

순진하고 멍청해 보이는 질문에도 잘 답하려 노력해야 한다

운 좋게 좋은 교사를 만나다면

학생들도 자발적으로 교사에게 질문할 수 있을 것이다

 

좋은 스승을 만난 덕분에 수학과 더 친해졌다수학은 단순한 퍼즐 풀기가 아니라 세상을 이해하는 창구고현실의 문제를 해결해 세상을 돕는 학문이라는 걸 깨달았다

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위대한 수업 (ebs.co.kr)

위대한 수업 Great Minds

 

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