EBS 위대한 수업3 (모두를 위한 수학) 3강 그룹 테스트: 매독 환자 골라내기

(2023.10.27 방송)

 

 

EBS 위대한 수업3 (모두를 위한 수학) 3강 그룹 테스트: 매독 환자 골라내기

위대한 여든아홉 번째 강연 ' 모두를 위한 수학 '(시즌3 여덟 번째)

 

 

 

 

테렌스 타오 UCLA 수학과 교수

미국 대통령 과학기술 자문위원

IQ 230

최연소> 10살 국제 수학 올림피아드 동메달 수상

최연소> 11살 국제 수학 올림피아드 은메달 수상

최연소> 12살 국제 수학 올림피아드 금메달 최연소 수상

필즈상 (2006)

라마누잔상 (2006)

리만상 (2019)

 

 

 

 

 

3강 그룹 테스트: 매독 환자 골라내기

 

 

 

 

< 그룹 테스트의 수학적 원리 >

 

희귀한 병의 감염자를 쉽게 찾는 기법으로

'동전 무게 재기' 같은 수학 퍼즐에 영향을 받았다

또한 오늘날의 압축 센싱에 영향을 끼치기도 했다

압축 센싱은 의료 영상 기기의 속도와 효율을 높이는 기술이다

 

그룹 테스트는 2차 세계대전 시기에 탄생했다

당시 미국은 수백만 명의 청년들을 징집했는데

그중 감염병 환자가 있을까 봐 걱정했다

그래서 매독 감염자가 있는지 조사하기로 한다

 

그때도 검사는 할 수 있었지만 비용이 많이 들었다

한 명 한 명 혈액을 채취해서 검사해야 했다

수백만 명을 검사하기엔 돈이 너무 많이 들었다

 

그래서 미국 당국과 공중보건국은

검사 예산을 효율적으로 활용해야 했다

최대한 적은 검사 횟수로 최대한 많은 검사를 해야 했다

이런 문제도 수학적으로 해결할 수 있다

 

☞ ☞  10명의 군인을 검사해야 한다면

매독 감염자와 비감염자가 섞여 있을 것이다

이를 벡터로 표현할 수 있다

매독은 드문 질병이다

0과 1로 된 벡터 중 대부분의 값이 0일 것이다

대부분의 검사가 헛수고인 셈이다

10명 중 1명만이 매독 환자라면 9번의 검사는 무의미하다

직관적으로 생각해 보면 더 효율적인 방법이 있을 것이다

검사 한 번으로 얻는 정보량을 늘리는 것이다

이건 최소한의 검사로 미지의 벡터를 알아내는 수학 문제이다

 

해결책은 1950년대에 발견됐다

미군은 군인 한 명 한 명을 검사하는 대신

여러 명의 혈액을 한데 섞어 하나의 검체를 만들고

섞인 혈액을 한 번에 검사하는 것이다

그러면 그 그룹에 감염자가 있는지 알 수 있다

군인 10명한테 매독 검사를 한다고 하자

누가 감염자일지는 모른다

우선 5명만 뽑아서 단체로 검사하는 것이다

5명의 혈액을 채취해서 한데 섞고

그 검체에 매독균이 있는지 검사한다

한데 모은 혈액이 음성이라면 처음 뽑은 5명 모두 음성이란 것이다

그러면 매독 환자는 나머지 5명 중에 있을 것이다

결과가 양성일 경우 앞쪽 5명에 매독 감염자가 있고

뒤쪽 5명은 문제가 없다는 것이다

10명 중 1명만 감염자라고 가정했기 때문이다

 

결과가 어떻든 경우의 수가 10개에서 5개로 줄어든다

그리고 추가 검사로 경우의 수를 줄일 수 있다

총 4번의 검사로(3번의 추가 검사) 감염자를 가려낼 수 있다

10번이 아니라 4번만 검사해도 된다

 

미군이 그룹 테스트를 도입하기 전부터

수학에는 동전 무게 재기라는 수학 퍼즐이 있었다

동전 12개가 있는데 그중 하나만 가짜라서 더 무겁거나 가볍다

어떤 동전의 무게가 가벼운지는 모른다

하지만 양팔 저울로 무게를 잴 수 있다

문제는 양팔 저울로만 위조 동전을 찾는 것이다

하지만 무게를 재는 횟수가 최대한 적어야 한다

동전 12개 중 하나가 가짜인데 양팔 저울은 3번만 쓸 수 있는 식이다

 

 

수학자들은 실생활에 쓸 일 없는 문제도

그냥 지적인 호기심에서 재미로 연구하는 일이 많다

시간이 지나면 의외로 그 문제가 실생활에 유용하게 쓰인다

 

 

그룹 테스트는 하나의 신호에서 최소한의 측정 횟수로

최대한의 정보를 뽑아낼 때도 쓰인다

이미지를 정확히 처리하려면

보통 화소 하나하나 총 300만 번 측정해야 한다

그러다 보면 측정 비용이 너무 많이 든다

 

MRI라는 신체 스캔 기술이 있다

환자를 MRI 스캐너에 넣으면

스캐너가 환자를 훑으면서 신체를 여러 번 측정한다

신체 곳곳의 수분 밀도를 측정해서

종양이나 골절 따위를 찾아내는 것이다

고해상도 이미지를 얻으려면 측정 횟수가 많으니까

MRI 촬영이 아주 길어진다

신체 전체를 자세히 촬영하려면 보통 5~10분은 걸린다

어린아이라면 5~10분은 너무 길다

 

그래서 수학 등의 다양한 기술을 이용해

최소한의 측정으로 사람 신체 이미지를 복원하는 방법이 연구되고 있다

그룹 테스트가 효율적이었던 건 실제 감염자가 매우 적었기 때문이다

그래서 효율적으로 묶어 처리할 수 있었다

 

이미지도 비슷했다

100만 화소 이미지를 표현하려면 300만 개 수치가 필요하지만

그중 진짜 중요한 수치는 1만 개 정도일 수도 있다

이미지는 300만 차원 벡터로 이루어져 있지만

이미지에서 중요한 부분만 남기면 1만 차원 벡터로 압축된다

 

하지만 어디가 중요한지는 봐야 안다

왼쪽 위나 오른쪽 위에 중요한 정보가 몰렸을 수도 있고

빨간색이나 초록색 부분이 중요할 수도 있다

 

신체 스캔 이미지의 경우는 중요한 부분이 별로 없다

기껏해야 종양이나 뼈 정도다

신체 스캔 이미지의 대부분은 불필요한 정보이다

그렇다면 MRI를 몇 초만 촬영해서 얻은, 불완전한 측정값에서

어떻게 중요한 자료를 뽑아낼 수 있을까?

 

MRI 스캐너의 작동 방식은

그룹 테스트나 동전 무게 문제와 원리가 좀 다르다

이 문제를 기하학 문제로 바꿔서 해결했다

이미지는 초고차원 공간 속의 한 점이다

측정을 많이 하면 점의 위치를 정확히 알아낼 수 있다

하지만 정확히 측정하지 않으면 대략적인 위치만 알 수 있다

 

측정값에서 추측할 수 있는 모든 점의 위치 중

어디가 가장 그럴듯하고 자연스러운지 알아냈다

그렇게 만들어 낸 기법이 압축 센싱이다

최소한의 검사로 고해상도 이미지를 얻을 수 있다

 

원래 3분 걸렸을 촬영도 이젠 30초면 된다

환자를 마취하지 않아도 고해상도 이미지를 얻을 수 있다

이젠 기술이 하도 발전해서 MRI 영상까지 나오려 한다

예전엔 한 장 찍는 데 몇 분이나 걸렸기 때문에

심장이나 뇌가 활동하는 모습을 실시간으로 찍을 순 없었다

이젠 필요한 측정 횟수가 확 줄어서 곧 MRI 영상도 찍을 수 있게 될 것이다

 

동전 무게 재기 같은 시시해 보이는 수학 퍼즐도

아주 실용적인 결과물로 이어질 수 있다는 좋은 예시이다

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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