EBS 위대한 수업3 (모두를 위한 수학) 2강 어려운 문제를 푸는 법

(2023.10.26 방송)

 

 

EBS 위대한 수업3 (모두를 위한 수학) 2강 어려운 문제를 푸는 법

위대한 여든아홉 번째 강연 ' 모두를 위한 수학 '(시즌3 여덟 번째)

 

 

 

 

테렌스 타오 UCLA 수학과 교수

미국 대통령 과학기술 자문위원

IQ 230

최연소> 10살 국제 수학 올림피아드 동메달 수상

최연소> 11살 국제 수학 올림피아드 은메달 수상

최연소> 12살 국제 수학 올림피아드 금메달 최연소 수상

필즈상 (2006)

라마누잔상 (2006)

리만상 (2019)

 

 

 

 

 

 

2강  어려운 문제를 푸는 법

 

 

 

 

아이들은 수학 수업을 듣지 않았더라도 숫자나 도형 같은

기본적인 수학 개념은 직관적으로 다룰 수 있다

학교에서는 규칙적 사고만 강조하는데

수학을 직관적으로 이해하고 수학을 갖고 놀 줄 알아야 한다

 

수학은 문제를 변형하고 다른 해법을 찾는 등

시행착오를 거치며 탐구하고 고민할 수 있는 학문이다

부분적인 성과도 완전한 풀이의 디딤돌이 된다

이건 다른 분야에선 보기 힘든 수학만의 특징이다

 

여러분이 강에 다리를 설치하는 공학자라면

실패해서는 안 되고 성공만 용인된다

의사도 경영자도 마찬가지다

 

많은 분야가 실패를 금기시하고 성공만을 추구한다

실패의 대가가 크기 때문이다

 

하지만 수학은 추상적인 학문이라 사정이 다르다

문제를 풀지 못했어도 괜찮다

다른 방법을 시도하면 된다

수학은 실험을 권장한다

 

바로 어려운 문제에 도전하기보다는

간단한 문제를 풀며 직관을 얻고

어려운 문제로 넘어가도 된다

 

실용적인 문제뿐만 아니라 토이 문제를 풀어

어려운 문제를 풀 때 도움 되는 직관과 경험을 얻는다

자잘한 도전이 쌓이고 쌓여 해답이 나오는 경우도 많다

도전과 실패를 반복하며 발견한 실수들을 피할 수 있기 때문이다

 

 

물론 수학자들도 실패는 숨기고 완벽한 결과물만 내놓곤 한다

하지만 모든 수학적 성과 뒤에는 다른 사람들이 오랜 세월 쌓아 온

부분적 성과와 수많은 시행착오가 있다

 

17세기에 요하네스 케플러라는 수학자 겸 천문학자가 있었다

케플러는 화성, 금성 같은 행성들의 움직임을 연구했다

당시 코페르니쿠스는 지동설을 주장했는데

지구, 금성, 화성 등의 행성이 태양을 중심으로 돈다는 이론이다

코페르니쿠스에 의하면 행성들의 공전 궤도는 완벽한 원형이다

케플러는 행성의 움직임을 최대한 정확하게 측정하고

그 자료를 코페르니쿠스의 이론에 대입해 봤다

하지만 관측 자료와 코페르니쿠스의 이론이

지구와 화성의 궤도 반지름 같은 변수를 계속 바꿔 봤지만

정확히 일치하지 않았다

케플러는 행성의 공전 궤도는 원형이 아니다

코페르니쿠스의 이론을 수정해야 한다고 결론을 내렸다

 

케플러는 삼각 측량법을 쓰기로 한다

이것은 고대의 항해법으로 바다에서 배를 몰 때

현재 위치를 알고 싶으면 지표 두 개만 찾으면 된다

등대나 산처럼 위치를 아는 지표 두 개를 찾아서

즉 고정된 지표 두 개만 있으면 현재 위치를 알 수 있다

 

케플러는 일단 지구의 궤도를 알아내기로 했다

지구 역시 완벽한 원형이 아닌 이상한 형태로 돌고 있었다

케플러는 삼각 측량법으로 지구의 궤도를 알아내기로 한다

첫 번째 지표는 태양이었다

 

코페르니쿠스의 이론에 따르면

태양은 고정돼 있고 행성은 그 주변을 돌뿐이었다

그러니 태양은 확실히 고정된 지표였다

화성은 계속 움직이고 그 궤도도 모르지만

화성과 태양이 고정되어 있다면 삼각 측량법을 쓸 수 있다

현실은 무시하고 화성도 태양도 늘 같은 위치에 있다고 가정했다

 

특정 시기에 태양과 화성이 어디에 있는지 보고

삼각 측량법으로 시기에 따른 지구의 위치를 알아내는 것이다

그렇게 자료가 모이면 지구의 궤도가 나올 것이다

하지만 진짜 문제에서는 화성도 움직인다

 

그는 코페르니쿠스에 의해 밝혀진 사실을 알고 있었는데

화성이 정확히 687일마다 제자리에 돌아온다는 거였다

그래서 케플러는 687일에 한 번씩 화성을 관측하기로 했다

케플러는 그런 방식으로 금성, 수성 등 모든 행성의 궤도를 알아냈다

그렇게 유명한 케플러의 행성 운동 법칙이 탄생했다

행성의 궤도는 원형이 아니라 타원형이라는 게 그중 하나이다

(케플러의 제1법칙)

 

케플러의 발견은 뉴턴의 만유인력 법칙을 낳았고

그게 아인슈타인의 상대성 이론을 낳았다

아인슈타인은

"케플러가 행성의 위치를 알아낸 방법은 천재적이었다"는

말도 남겼다

 

 

수학에서 쓰는 또 다른 기술 중 하나는

복잡한 문제를 단순한 문제로 쪼개서 하나씩 해결하는 것이다

이건 일상생활에서도 잘 쓰는 기술이다

 

한 번은 집에 아주 무거운 커튼과 봉을 달아야 했다

커튼을 벽에 붙이는 브래킷도 아주 복잡한 구조였고

봉과 커튼을 결합하는 방식도 아주 복잡했다

그래서 일단 봉을 브래킷에 결합하는 것만 연습했다

그다음 봉을 바닥에 내리고 

그렇게 각각의 문제를 해결되자 

두 문제의 해결을 합치는 건 쉬웠다

 

설명서를 따라 했다면 더 빨리 끝냈을 수도 있지만

확실히 이해하고 해서 실수 없이 끝낼 수 있었다

 

수학자들은 문제를 자주 변형하곤 한다

아주 추상적인 학문이라 숫자, 도형, 방정식 같은

수학적 상징들로 다양한 물리적 개념과 의미를 나타낼 수 있다

 

숫자는 수량의 단위인 동시에 길이와 넓이의 단위이기도 하다

질량이나 전하량 같은 물리적 값도 표시할 수 있고

가능성, 기댓값, 분산 같은 통계적 값도 표시할 수 있다

수학은 같은 문제를 다른 분야에 적용할 수 있다

수나 기하학에 관한 문제도 물리학이나 확률 같은

다른 분야의 문제로 바꿀 수 있다

덕분에 한 분야에서 얻은 직관을 다른 분야에 써먹을 수 있다

2차원, 3차원에서 얻은 직관을 이미지 해석 같은 분야에 적용했다

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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