EBS 위대한 수업(원더풀 수학) 제5강 카오스의 세계 요약정리

EBS 위대한 수업(원더풀 수학) 제5강 카오스의 세계 요약정리

 

위대한 서른두 번째 강연 '원더풀 수학'

 

 

영국 워릭대 수학과 명예교수 이언 스튜어트

영국 왕립학회 특별회원

1995년 마이클 패러데이 메달

2008년 크리스토퍼 지먼상

2017년 오일러 도서상

 

과학의 여왕, 수학의 아름다움과 활용법

제5강 카오스의 세계

 

 

■ 우주의 카오스

 

  ☞ 혜성에 무인 탐사선을 보내는 가장 좋은 방법은 무엇일까?

      → 정답은 4번. 실제 유럽 우주국이 로제타호를 혜성 67P 추류모프-게라시멘코로 보낸 방법이다

 

  - 세상을 보는 두 가지 다른 관점

 

    1. 라플라스의 '결정론적 세계관'

      · 피에르 시몽 라플라스(1719~1827) 프랑스 수학자

      · 미래는 정해져 있다는 관점으로 자연의 법칙이 미래를 결정하고 현재를 알면 미래도 알 수 있다

라플라스의 저서 <확률에 대한 철학적 시론>(1814)

    2. 무작위성

      · 미래를 완전히 예측 불가한 것으로 보는 것

      · 무작위 시스템에는 기억이 없다

        주사위를 던져 6이 나와도 이걸 기억하진 않는다, 다음에 6이 안 나오도록 정할 수 없다

        평균적으로 모든 숫자가 동일한 확률을 갖기에 6이 또 나올 수도 있다

      · 사람들이 흔히 말하는 '평균의 법칙' 같은 것은 없다, 그렇지만 결국에 확률은 균등해진다

      · 주사위 자체가 똑같은 확률을 보장하는 게 아니다, 수학이 이런 결과를 도출하는 것이다

      · 옛날에 사람들은 거의 모든 것이 무작위라고 생각했다

        행성들의 움직임도 무작위고 예측할 수 없었다

  - 요하네스 케플러(1571~1630) 독일 수학자, 천문학자  

    · 1609년에서 1619년 사이 실제 행성의 운동을 설명하는 세 가지 법칙을 고안해냄  

      1609년 발간된 케플러의 <신천문학>

케플러의 행성운동법칙

  - 아이작 뉴턴(1642~1727) 영국 물리학자, 수학자

    · 1697년 케플러의 법칙을 중력의 법칙으로 재구성

      : 두 물체 사이의 중력에 대한 수학 공식

    · 타원 궤도는 실제 궤도와 아주 많이 비슷하다(태양계의 대부분 궤도는 대체로 타원형)

      다른 행성들이 이동하거나 움직임을 방해해서 변하기도 한다

 

  - 알리 푸앵카레(1854~1912) 프랑스 수학자

    · n체 문제(n은 숫자를 의미)

      : 1887년 수학 경시대회(노르웨이와 스웨덴 연합국의 왕 오스카르 2세가 개최)

        중력 아래 놓인 여러 물체들의 운동에 관한 문제에서 결괏값을 구하는 게 불가능함을 증명

        법칙을 알더라도 공식이 없다는 것

        물체가 세 개만 있어도 무질서한 궤도에 도달했기 때문이다

        그 궤도는 무작위적으로 보임

 

  ▶ 수학자들은 라플라스가 옹호한 결정론적 법칙이 있더라도 어떤 측면에서

      행동은 무작위적으로 보인다는 것을 깨달았다

 

  - 움직임이 너무 복잡하면 사실상 예측하기 어렵다. 이를 '카오스'라 한다

    그리고 예측이 불가능하도록 만드는 원인을 나비효과라고 한다

 

    ♣ 나비효과 이론 : 텍사스에서 나비가 날갯짓을 한 번 하면 한 달 뒤 브라질에 허리케인을 초래할 수 있다

 

    · 시스템을 두 번 작동시켰는데 유일하게 다른 점이 나비의 날갯짓이라면

      날갯짓이라는 변수가 있는 곳에 허리케인이 생긴다는 의미

    

  - 전이궤도

    · 지구 주위의 원 궤도와 달 주위의 원 궤도 두 궤도와 맞닿는 타원을 말한다

    · 지구 주위의 원 궤도를 벗어나 타원으로 이동하고 여기서 달 주위의 궤도로 들어간다

    · 탐사선은 지구를 이용해 항로를 수정하고 다시 달을 이용해 항로를 또 한 번 수정하는 것이다

      그러면 궤도에 진입해 달에 착륙선을 내려 보낼 수 있다

      (두 천체를 오가는 가장 효율적인 노선)

    · 세 개 이상이면 노선을 바꿔야 할지도 모른다

    · 시간이 가장 중요한 경우에는 연료를 많이 써서 빨리 도착해야 할 것이다

      시간이 중요하지 않다면 연료를 덜 사용하는 방법을 쓸 것이다

      (탐사선 제작 비용은 훨씬 줄어들 것)

 

  ☞ 로제타호는 혜성 67P에 어떻게 갔을까?

    · 새총 효과  

      : 만약 당신이 탐사선을 보낸다면 행성의 에너지 중 일부를 빌려 탐사선의 속도를 높일 수 있다

      : 행성이 움직이면 탐사선은 행성 뒤편으로 이동한다

        행성의 속도는 미세하게 줄어들지만 행성이 매우 거대하기 때문에 인식될 정도는 아니기 때문이다

        덕분에 탐사선의 속도가 빨라지고 다량의 연료 사용 없이도 항로 변경이 가능해진다

      : 문제는 혜성이 매우 빠르게 움직이기 때문에 탐사선이 혜성 근처에 가는 것만으로는 충분치 않았다

        탐사선은 혜성과 같은 속도 같은 방향으로 움직여야 했다(그래서 이런 복잡한 궤도가 생긴 것)

 

  - 태양계의 중력 지형

    · 궤도 계산의 배경이 되는 수학

    · 등고선은 지형에 대해 알 수 있다, 태양계의 중력장에도 지형 개념을 적응시킬 수 있다

      높이 대신 우리는 그 지점의 에너지를 사용할 수 있다 → 3차원 보다 더 높은 차원의 지형

    · 이 지형은 행성의 움직임에 따라 변화하지만 여전히 지형처럼 작용한다

    · 지구와 달의 중력 지형

      이 평형점을 이용하면 탐사선의 방향을 아주 크게 바꿀 수 있다(적은 연료와 미세한 에너지 변화만으로)

      라그랑주 점과 중력 지형의 특징들로 효율적인 궤도를 설계할 수 있다

 

  - 무질서한 궤도가 유발한 나비효과는 매우 유용하다

    중력이라는 나비가 날갯짓을 하면 탐사선은 무질서한 궤도에서 약간의 연료를 사용해

    적절한 시점에, 시기를 맞춰 로켓을 발사한다 → 방향을 크게 바꿀 수 있다

    → 많은 연료를 사용하지 않고도 다른 방향으로 탐사선을 보낼 수 있다

 

  - 무질서한 궤도로 발생하는 또 다른 장소는 바로 '튜브'이다

    · 튜브가 유용한 이유는 탐사선이 튜브 안에서 올바른 방향으로 향한다면 그 안에 계속 머무른다는 것

      마치 지하철을 타는 것과 같다

    · 터널로 들어가 따라가다 보면 제대로 된 장소에 도착하게 된다

    · 태양계에는 눈에 보이지 않는 튜브 네트워크가 존재한다

    · 우주에는 규칙이 존재한다, 무질서 카오스도 존재한다

      결정론적이지만 여전히 예측할 수 없다

    · 이 모든 것은 우리가 보유한 인공위성과 탐사선 등 모든 현재의 기술에 유용하다

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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위대한 수업

 

70원의 기적 EBS에서 전 세계 최고의 지성을 한 자리에 만날 수 있는 프로그램을 기획했다.

 

방송시간 EBS1TV 월~금 23:35~23:55                        EBS2TV 월~금 22:00~22:20(재방)

                        토     09:30~11:00(종합)                            토      22:15~23:45(종합)

                        월~금 15:05~15:25(재방)