EBS 위대한 수업(원더풀 수학) 제4강 확률의 비밀 요약정리

EBS 위대한 수업(원더풀 수학) 제4강 확률의 비밀 요약정리

 

위대한 서른두 번째 강연 '원더풀 수학'

 

 

영국 워릭대 수학과 명예교수 이언 스튜어트

영국 왕립학회 특별회원

1995년 마이클 패러데이 메달

2008년 크리스토퍼 지먼상

2017년 오일러 도서상

 

과학의 여왕, 수학의 아름다움과 활용법

제4강 확률의 비밀

 

■ 얼마나 확신하는가

 

  - 확률

    · 자신이 살인 용의자로 법정에 섰다고 해보자, DNA 검사를 받았고 검사 결과 당신의 DNA가

      범인의 DNA가 일치한다는 것이 밝혀졌다.

      검사 측은 무작위로 선택된 사람의 DNA가 범인의 것과 일치할 확률 백만 분의 일이라고 주장한다

      범인일 확률은 99.9999%, 무죄일 확률 0.0001%

      변호사 측은 전 세계 인구가 70억이니 DNA가 일치할 확률이 백만 분의 일이면

      전 세계 7천 명이 같은 DNA를 가진다

      피고인이 유죄일 확률은 7천 분의 일, 0.014%이다

      → 첫 번째 경우는 '검사의 오류'라고 부른다, 두 번째 경우는 '변호사의 오류'라고 부른다

    · 확률의 수학은 도박에서 시작되었다 → 가능성을 다루는 게임

    · 1564년, 이탈리아의 수학자, 도박사 지롤라모 카르다노(1501~1576)

      : 확률의 기본 법칙이 정리된 책을 씀, 카드 게임에서 속임수를 쓰는 법도 설명

    · 확률이란 어떤 사건을 자주 반복했을 때 그 사건이 일어나는 빈도를 뜻한다

      → '빈도주의 확률'    

    · 주사위는 면이 6개, 주사위에 문제가 없으면 각 면이 나올 확률은 똑같다

      특정 숫자가 나올 확률은 6분의 1, 동전 던지기의 가능성은 50%

      52장의 카드에서 ♤A를 뽑을 확률은 52분의 1

 

  - 조건부 확률

    : 다른 일이 이미 일어났을 때 어떤 일이 생길 확률, 다음에 일어날 사건의 가능성 즉, 확률이 바뀜

    · 이 경우 전체 카드에서 ♤A를 뽑을 확률은 변하지 않았지만 카드 한 장이 빠지면

      ♤A를 뽑을 조건부 확률은 달라진다

    · 우리는 조건부 확률을 짐작하는 데 서투르다

      ◐수수께끼1◑

      스미스 부부에게는 두 명의 아이가 있다, 아들, 딸이 태어날 확률이 똑같다고 가정할 때

       (실제로는 아들이 태어날 확률이 조금 더 높다)

      첫째가 아들일 확률이 반 딸일 확률이 반이다. 둘째도 마찬가지, 적어도 한 명이 딸일 확률은?

네 가지 경우가 있고 가능성이 같으므로 각각의 확률은 4분의 1

        → 이 중에서 딸이 있는 경우는 세 가지 경우이므로 적어도 한 명이 딸일 확률은 4분의 3

 

      ◐수수께끼2◑

      스미스 부부에게는 두 명의 아이가 있다, 하나가 딸일 때 둘 모두 딸일 확률은?

각각 일어날 확률은 3분의 1

        → 하나가 딸일 때 두 명 모두 딸일 확률 3분의 1

 

      ◐수수께끼3◑

      스미스 부부에게는 두 명의 아이가 있다, 첫째가 딸일 때 둘 모두 딸일 확률은?

둘의 확률은 같다

    · 수수께끼를 통해 알 수 있듯 첫째나 둘째에 대한 정보를 더 많이 얻으면 얻을수록 확률은 계속 바뀐다         

    · 확률을 다룰 때 엄밀한 수학 이론이 필요한 이유를 보여준다

    · 토마스 베이즈(1701~1761) 영국 목사

      : 1864년 확률에 관한 논문

    · 베이즈의 정리

     · 수수께끼 문제를 베이즈의 정리로 나타냈을 때

    · 베이즈의 정리는 확률에 대한 다른 방식의 접근법이다

 

  - 통계학에는 두 가지 계통이 있다

    · 빈도주의 확률(사건이 얼마나 빈번히 일어나는지로 확률에 접근)

    · 베이즈 확률(새로운 정보를 토대로 어떤 사건이 발생할 것이라는 믿음, 확신의 정도로 확률에 접근)

    · 베이즈의 확률은 검사와 변호사의 오류에서 무엇이 잘못됐는지를 알려준다

      범인의 DNA와 자신의 DNA가 일치하더라도 범행 시각에 약 1만 6천 km 떨어진 곳에 있었다는

      알리바이가 있다면 무죄를 증명할 수 있고, 유죄일 확률에 영향을 준다

      추가 증거는 유죄일 확률에 아주 강한 영향을 미친다

        → 검사도 변호사도 중요한 추가 증거를 고려하지 않았다

        → 베이즈의 정리는 추가된 증거를 어떻게 고려할지 알려준다

    · 검사는 매우 다른 조건부 확률 두 개를 혼동했다

    · 피고인이 무죄일 확률이 이미 아주 높거나 제시된 증거의 개연성이 낮을 경우   

      무죄일 확률이 유죄(DNA가 일치할 확률)일 확률보다 훨씬 커진다   

    · 변호사의 오류는 검사의 오류 계산과 유사하며 무시된 추가 증거로 인해

      확률이 완전히 변할 수 있다는 동일한 결론으로 이끈다

 

 

  - 베이즈 네트워크

    · 2016년, 노먼 펜튼, 마틸 닐, 다니엘 버거는 소송 사건에 사용됐던 베이즈 추론을 검토함

      이 문제를 수학적으로 해결하려면 베이즈 네트워크를 사용해야 한다는 결론을 내림

    · 일어났거나 일어나지 않은 다양한 사건들과 그 사건에 대한 조건부 확률을 나열한 것

    · 확률을 가진 사건들이 서로 연결돼 있으면 다양한 정보를 합치고 더 개량된 베이즈 등식에 대입해

      유죄일 확률을 수학적으로 구할 수 있는 것이다

    · 확률론은 다양한 법정 공방에서 합리성을 보장할 수 있다

    · 재판에서 베이츠 추론을 활용하는 것의 장애물은 수학적 차원의 문제가 아니고 배심원들을 이해시키기

      어렵다는 사실도 아니라 법조계의 문화가 이를 수용하기가 힘들다는 것이다

        → 수학적 논리가 문화적 장벽에 막히는 것

 

  - 수학의 확률과 조건부 확률이 재판처럼 중요한 일에 영향을 미칠 수 있다