EBS 위대한 수업(원더풀 수학)제1강~2강 요약정리

EBS 위대한 수업(원더풀 수학) 제1강~2강 요약정리

 

위대한 서른두 번째 강연 '원더풀 수학'

 

 

영국 워릭대 수학과 명예교수 이언 스튜어트

영국 왕립학회 특별회원

1995년 마이클 패러데이 메달

2008년 크리스토퍼 지먼상

2017년 오일러 도서상

 

 

과학의 여황, 수학의 아름다움과 활용법

 

제1강 대칭의 신비

 

 

■ 반점, 줄무늬, 대칭

 

  - 호랑이는 줄무늬가 있고, 표범은 반점을 지녔고 사자는 아무 무늬도 없다

    대형 고양잇과 동물들은 서로 다른 무늬를 가졌다

    · 진화론의 관점에서 무늬가 다른 이유는 사는 환경이 다르고 위장을 해야 하기 때문이다

    · 무늬 이면에는 심오한 수학의 원리가 존재한다

      → 대칭

 

  - 대수학

    · 약 4,500년 전 바빌로니아인들은 방정식 풀이에 관심이 많았다

    · 그러나 약 4,000년 동안 방정식 풀이법에 진전은 없었다   

    · 15세기 르네상스 시기에 이탈리아 수학자들이 바빌로니아인들을 능가하기 시작함

      3차/4차 방정식의 해법을 알아냄

    · 두 방정식 모두에서 근의 공식을 찾았다

    · 점점 더 복잡해진 공식 속엔 제곱근과 세제곱근도 포함되었다

    · 5차 방정식에 대해 제곱근, 세제곱근, 다섯 제곱근까지 있는 매우 복잡한 공식일 거라고 생각했지만 공식을 찾지 못함

    · 노르웨이 수학자 아벨(1802~1829)과 이탈리아 수학자 루피니(1765~1822)는

      그런 공식은 존재하지 않음을 증명했다     

    · 에바리스트 갈루아(1811~1832) 프랑스 수학자

      : 7월 혁명 전에 태어난 갈루아는 자라서 혁명가가 되었다

      : 그는 스무 살이 되던 해 결투를 벌이다 배에 총을 맞아 사망하였으나 그전에 방정식 풀이법을 기록해 두었다

        "공식이 있는 방정식과 공식이 없는 방정식의 차이는 무엇인가?"_갈루아의 질문

 

    ♣ '대칭'의 발명 : 대칭과 방정식의 연결

    · 이 방정식으로는 세 근이 구별되지 않는다 

      A, B, C를 어디에 배치하든 값이 동일한 3차 방정식이다

     → 갈루아는 삼각형의 대칭들과 그 순열들로 3차 방정식을 푸는 근의 공식을 알아낼 수 있음을 알게 되었다

    · 근이 세 개이고 세 번 회전함, 그다음에는 삼각형을 뒤집어 세 개의 대칭을 추가로 얻음

      한 번 더 뒤집으면 다시 원점으로 돌아감, 세 번 회전시켜도 원점으로 돌아감

    · 갈루아는 이 방정식의 대칭군은 세 번 회전한 것과 두 번 뒤집은 것으로 나뉜다고 말함

    · 르네상스 시대의 이탈리아 수학자들은 4차 방정식도 이와 유사하다는 것을 보여주었다

      단, 4차 방정식에서는 대칭 이동이 24번 일어난다

3과 2는 모두 소수 3은 공식에서 세제곱근이 되고 2는 제곱근이 된다

    · 5차 방정식을 보면 대칭은 120개이고 군론으로는 풀이법을 제곱근으로 표현하기 어렵다     

      → 여기서 60은 소수가 아님, 이로서 갈루아는 5차 방정식의 공식이 없다는 것을 증명함

      →· '대칭군'은 수학과 수리 물리학의 기본이 된다

 

  - 민무늬의 사자, 하지만 이 말은 곧 대칭이 많다는 뜻

     무늬를 떼어내 옆으로 밀거나, 돌리거나, 뒤집어도 똑같음

  - 평행한 줄무늬의 호랑이, 줄무늬를 세로 방향으로 밀면 아무 변화 없이 똑같지만

    가로 방향으로 밀면 몇 개의 줄무늬를 건너뛰어야 똑같은 무늬가 나올 것

    대칭은 더 적지만 패턴은 더 흥미로움

  - 반점도 줄무늬와 비슷, 줄무늬가 점으로 나뉜 것

     반점은 가로, 세로 방향으로 제한적 이동만 가능

 

    ▶ 따라서 무늬들의 대칭으로 이들을 구별할 수 있다

 

  - 앨런 튜링(1912~1954) 잉글랜드 수학자, 암호학자 

    : 제2차 세계 대전 당시 독일군의 암호인 애니그마를 해독한 것으로 유명

    · 전쟁 후 생물학에 관심을 가졌고 동물의 무늬가 어떻게 생기는지에 관한 이론을 발표

    · 앨런은 동물이 태어나기 전 배아 상태일 때 배아 표면에 특별한 화학 물질이 존재한다고 주장함

    · 그는 무늬를 만드는 화학 물질을 '모르포겐'이라고 부름

      이 모르포겐들이 서로 반응하고 확산하면서 동물의 몸 전체로 퍼진다는 이론

     → 반응-확산 방정식 / '튜링 방정식'을 만들어 방정식의 대칭이 사자 무늬의 대칭과 같다는 것을 보여줌

    · 원하는 방향으로 무늬를 움직이고 회전시킬 수 있다

      방정식의 대칭이 깨지면 줄무늬나 반점이 생김

     → 수학 방정식의 대칭이 동물의 무늬를 결정짓는 것

    · 수학적 패턴만큼 규칙적이지는 않지만 같은 방정식이 적용된다

    · 반응-확산 방정식을 풀어 더 사실적인 동물무늬를 얻을 수 있다

    · 이 이론만 가지고는 무늬와 관련된 모든 궁금증을 풀 수 없었다

      그 후 분자 생물학과 DNA가 등장하면서 생물학자들은 그 분야에 관심을 더 기울임

    · 수학자들은 계속 튜링 방정식을 연구함

      → 그의 이론은 생물학자들이 생각한 것보다 여러 부분에서 앞선다는 사실이 드러남

    · 튜링의 반응-확산 방정식이 동물의 세계에서 온갖 무늬로 나타난다는 사실을 알게 되었다

    · 쥐의 입천장을 보면 움푹 들어간 곳이 일정한 무늬를 가짐, 이 무늬도 튜링 방정식대로 생성된 것

    · 튜링 방정식에 따른 열대어 줄무늬의 위치는 옆면을 따라 움직일 것이라 예측되었다

    · 대칭에 관한 갈루아의 이론은 무늬와 얼룩에 대한 발상으로 이어졌고 생물학 전반에 적용되기 시작

    · 기초 물리학에도 응용

      아인슈타인의 상대성 이론은 시간과 공간의 대칭에 관한 이야기

      약간 사자의 무늬 같음, 물리 법칙은 어느 공간에서나 똑같이 적용됨

      시간의 경우에도 물리 법칙이 동일하게 적용됨

      상대성 이론에 중요한 것은 일정한 속도로 움직이고 있어도 물리 법칙은 동일하게 적용된다는 것

      → 많은 대칭이 존재

    · 입자 물리학 이론인 양자 역할에는 우주의 모든 물질을 구성하는 기본적인 입자가 있다

      표준 모형은 모든 기본 입자의 대칭 모형이다

 

  - 대칭은 수학과 물리학의 기초를 이루며 우리가 사는 세상을 이해하는데 아주 중요하다

 

 

 

제2강 푸리에의 발견

 

 

■ 내 몸 안에는 무엇이 있는가?

 

  - 오늘날 의사들은 인체 내부를 촬영할 수 있는 장비들을 사용한다

    · 엑스레이 같은 평면 사진뿐 아니라 3차원 사진도 찍을 수 있다

      이는 아주 정교한 수학적 트릭 덕분

    · 이집트 학자들은 이 방법을 이용해 붕대를 풀지 않고도 미라 내부를 볼 수 있다

    · 모든 것은 엑스레이에서 시작됐다, 엑스레이는 물리학자에 의해 발견됐다

      초기에는 물리 실험에만 사용

 

  - 1893년, 페르난도 샌포드(1854~1948, 미국 물리학자)

    : 알루미늄이 엑스레이를 차단한다는 사실을 발견했다

    · 알루미늄을 어떤 모양으로 자르면 엑스레이는 그 모양을 투과할 수 없었다

      덕분에 잘라낸 모양대로 사진을 찍을 수 있었다

 

  - 빌헬름 뢴트겐(1845~1923) 독일 물리학자

    · 다양한 물질들로 엑스레이 차단 여부를 실험했다 

    · 1895년에 뢴트겐은 엑스레이를 이용해 인체 내부를 촬영할 수 있다는 것을 알게 되었다

뢴트겐이 찍은 아내의 손(뢴트겐의 아내는 죽음을 봤다며 경악함 )

    · 뢴트겐은 이 기술이 의학적으로 응용될 수 있음을 깨달음

    · 하지만 엑스레이는 2차원 평면 사진, 입체적이지 않음, 한 방향에서만 찍으면 3차원 형태로 재구성할 수 없다

    · 수학자들에 의해 다른 방향에서 찍는 요령이 발견되었다

 

  - 조지프 푸리에(1768~1830) 프랑스 수학자, 물리학자

    : 열이 금속에서 어떻게 이동하는지 알아냄

    : 열의 흐름에 관한 방정식을 적어 내려갔다

    · 1812년 프랑스 과학 아카데미는 수학자들에게 상금을 걸고 열의 흐름에 관한 문제를 냄 

    · 금속 막대의 온도 분포가 단순한 형태일 때 그 방정식을 푸는 방법을 알아냄

    · 푸리에는 사인 곡선 방정식은 충분히 풀 수 있었기 때문에 그 자체만으로는 흥미롭게 생각하지 않았다

      왜냐하면 사각파의 방정식을 풀어야 할 수도 있기 때문이다

    · 막대의 일부는 아주 뜨겁고 일부는 차가운 형태

    · 푸리에는 여러 사인 곡선들을 풀어야 한다는 것을 깨달음

    · 푸리에는 볼록한 부분이 서로 다른 사인 곡선들을 합하면 그래프가 어떤 형태더라도 그릴 수 있다고 말함

    · 방정식에는 수학적으로 어렵고 신기한 면도 많지만 사인 곡선은 그저 완만한 곡선임에도

      이렇게 복잡한 모양도 만들어 낼 수 있다

    · 복잡한 형태의 곡선을 간단한 사인 곡선들의 합으로 변환시킨 것   

    · 이와 같은 방법으로 열 방정식을 풀었는데 이를 푸리에 변환이라고 한다

    · 지진의 진동이 있을 때 파장을 볼 수 있다

      이 방법은 지진으로부터 건물을 보호하는 데 사용된다

      또한 DNA의 구조를 파악하는 일에도 사용되고 잠수함의 음파 탐지기를 개선하는 데도 쓰인다

      자동차의 진동을 예방할 때도 사용된다

 

  - 요한 라돈(1887~1956) 오스트리아 수학자

    : 의료 영상 장비의 핵심이 되는 또 다른 변환법을 발견

    · 평면 위에 밝고 어두운 물체들이 있다고 가정해 보자

그런데 이런 단면적인 사진으로는 많은 것을 알 수 없다

    · 어떤 곳에 어두운 것들이 있고 밝은 것들이 있는지는 알지만 그것들의 정확한 위치까지는 알 수 없다

    · 라돈은 가능한 모든 방향에서 사진을 납작하게 만들면 물체들의 위치와 명도를 재구성할 수 있다는 걸 보여줬다

    · 체내 조직에 이 원리를 적용하면 엑스레이가 어떤 부분을 투과했는지 재구성할 수 있다

      엑스레이가 몸을 투과하면 뒤가 비치듯 보일 것, 반면 투과하지 못한다면 어둡고 탁할 것

      → 라돈 변환과 실제 형태를 알 수 있게 하는 역변환을 의료용 스캐너가 사용하는 것

    · 스캐너는 여러 방향에서 인체의 한 단면을 촬영한다, 그런 다음 움직여서 다음 단면을 촬영

      다음 단면과 그다음 단면도 마치 얇게 선 빵처럼 촬영한다

      이 모든 단면 사진을 컴퓨터에 입력하면 인체 내부의 3차원 사진을 얻을 수 있다

 

    ▶ 이는 라돈 변환에 기초하고 푸리에 변환에 기초하며 푸리에 변환은 열에 대한 질문에서 비롯됐다

        여기에 엑스레이 기술과 컴퓨터 기술이 더해져서 현대의 의료 영상 장비가 탄생한 것이다

 

  - 웨이블릿 변환

    : 푸리에 변환은 많은 모양을 나타내기에는 효과적이지만 '블립'에는 효과적이지 않다(치솟는 모양)     

    · 사인 곡선 대신 여러 모양의 '블립'을 이용

      '엄마 웨이블릿'을 압축하면 '딸 웨이블릿'이 나오고 그걸 다시 압축하면 '손녀 웨이블릿'이 나온다

      이 모든 웨이블릿을 합하면 웨이블릿 변환이 되는 것

    · 1980년대 초 수학자 장 몰레가 최초의 웨이블릿을 고안하면서 시작됐다

      주요 블립 바깥쪽에 아주 작은 떨림이 있었다

    · 그 뒤에 잉그리드 도브시가 고정 블립 구간 바깥에 떨림이 하나도 없는 고정 블립 구간 바깥에

      떨림이 하나도 없는 완전한 웨이블릿을 고안해냈다

    · 도브시와 몰레는 과학 전반에 사용되는 웨이블릿 변환이라는 새로운 장을 열었다

    · 웨이블릿 변환은 미연방 수사국인 FBI가 지문 데이터를 다룰 때도 사용된다

      각 지문은 하나의 이미지로 컴퓨터에 저장됐다, 하지만 재구성하려면 많은 데이터가 필요했음

      이를 수학적으로 해결할 방법은 데이터를 압축하는 것, 그리고 변환된 이미지에서 원본 이미지를 재구성하는 것

      FBI는 지문 이미지들에 웨이블릿 변환을 적용하면 필요한 데이터의 양을 5%로 압축할 수 있었다(20분의 1 크기)

      화질에 따라 5%에서 10%로 줄일 수도 있었다, 다시 말하면 지문을 10배에서 20배까지 저장할 수 있었다

    · 톰 호포와 몇몇 연구자들은 웨이블릿 변환을 통해 지문 데이터를 압축할 수 있다는 것을 알아냈다

      

  - 의학적 혁명인 의료 영상 장비는 수학적 변환이라는 개념에 기반한다

  - 수학자들은 여전히 이 개념을 웨이블릿 변환처럼 다른 방향으로도 추구하고 있다